INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA RESEÑA HISTÓRICA DEL ÁLGEBRA La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, así como ecuaciones indeterminadas como con varias incógnitas. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó "ciencia de reducción y equilibrio". (La palabra árabe al-yabr que significa "reducción", es el origen de la palabra álgebra). A los árabes se debe el desarrollo del Álgebra (siglo IX). Al-Juarismi, el más grande matemático musulmán, escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra "Kitab al-muhtasar fi hisad al-gabr wa-al-muqabala", de donde deriva el nombre de esta ciencia. Al-gabr significa ecuación o restauración; al-muqabala son los términos que hay que agregar o quitar para que la igualdad no se altere. Por esto, en rigor, el Álgebra no es más que una teoría de las ecuaciones.(Baldor A., 1992). En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. La traducción al latín del Álgebra de Al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII. Un avance importante en el Álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de Álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a la Matemática fue el descubrimiento de la Geometría Analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de Geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. (Biblioteca de Consulta Microsoft Encarta 2004) En la actualidad los conocimientos del Álgebra han encontrado aplicaciones en todas las ramas de la Matemática y en muchas otras ciencias llegando a ser empleados hasta para investigaciones sobre las leyes del pensamiento 2) NOMENCLATURA ALGEBRAICA Expresión Algebraica.- Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas, así por ejemplo: a, 2x, a(b+c), 2x+y, x2-5x Término.- Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el sigigno + o -, así por ejemplo:3a2, xy, -2abc2, -xyz Elementos de un término.-Son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado, así por ejemplo: Monografias.com En el caso de 3a2 el signo es positivo (cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo), el coeficiente es 3, la parte literal es a2 y el grado es 2 (segundo grado). En el caso de -ab2c3 el signo es negativo, el coeficiente es 1 (cuando un término no va precedido de ningún coeficiente, el coeficiente es la unidad), la parte literal es ab2c3 y el grado de primer grado con relación a la letra a porque el exponente de este factor es l, de segundo grado con relación a la letra b, y de tercer grado con relación a la letra c. Nota: Para obtener el grado absoluto de un término se suma los exponentes de sus factores literales. En el caso de -2xy2z3 el grado absoluto de sexto grado porque la suma de los exponentes de sus factores es 1+2+3=6 Clases de términos - Término entero.- El que no tiene denominador literal, así por ejemplo 7xy2z3. - Término fraccionario.- El que tiene denominador literal, así por ejemploMonografias.com - Término racional.- El que no tiene radical, como los ejemplos anteriores - Término irracional.- El que tiene radical. Ejemplo Monografias.com - Términos homogéneos.- Los que tienen el mismo grado absoluto, así por ejemplo 2ab2c4 y 5x2y2z3 son homogéneos porque ambos son de séptimo grado absoluto - Términos heterogéneos.- Los que no tienen el mismo grado absoluto 3) CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Monomio.- Es una expresión algebraica que consta de un solo término, así por ejemplo: 7a Binomio.- Es una expresión algebraica que consta de dos términos, así por ejemplo: 3a2 – 2a Trinomio.- Es una expresión algebraica que consta de tres términos, así por ejemplo: a 3 + b - c2 Cuatrinomio.- Es una expresión algebraica que consta de cuatro términos, así por ejemplo: x 3 + 4x2 + 2x +1 Nota: En general la expresión algebraica que consta de más de un término (binomio, trinomio, cuatrinomio,...) se llama Polinomio El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Ejemplo: El polinomio a5 -2a4 + a3 – 3a2 +a es de quinto grado. El grado con relación a una letra de un polinomio es el mayor exponente de dicha letra. Ejemplo: El polinomio a5 + a 2b3 – a 6b2 es de sexto grado con relación a la letra a y de tercer grado con relación a la letra b. Un polinomio puede estar ordenado con relación a una letra, llamada letra ordenatriz, en orden descendente o en orden ascendente. Así por ejemplo: El polinomio x5 + 5x4y – 2x3y2 + 4x4y3 + x5y4- y5 + 3 está ordenado en forma descendente respecto a la letra ordenatriz x y en orden ascendente respecto de la letra ordenatriz y. El término de un polinomio que no tiene parte literal se llama término independiente (el número 3 del ejemplo) y al ordenar un polinomio se lo ubica siempre al final. 4) REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen letras iguales con exponentes iguales. Así por ejemplo: 3a con a ; 8b con 7b; 3a2b3 con 2 a2b3; an+m con 3an+m La reducción de términos semejantes es una operación a través de la cual se convierte en la menor cantidad de términos dos o más términos semejantes. Para la que se sigue los pasos: -Se realiza todas las operaciones previas en el caso de existir (eliminación de signos de agrupación, aplicación de las diferentes propiedades de los números,..) -Se suman todos los coeficientes positivos y todos los coeficientes negativos conservando el signo y la parte literal correspondiente. -A los dos resultados obtenidos anteriormente se aplica las leyes de la suma y resta (signos iguales se suma y se conserva el signo de los sumandos, y signos diferentes se resta y se conserva el signo del número de mayor valor absoluto).

vídeo intervalos

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Expresar un número decimal en forma de fracción

Después de unas semanas sin artículo propiamente (fiestas y época de exámenes de mis alumnos han tenido la culpa) volvemos a la carga con un artículo que aunque no sea excesivamente avanzado nunca está de más: vamos a (re)aprender a expresar un número decimal en forma de fracción

Introducción

Para comenzar, aunque para muchos es evidente, vamos a delimitar nuestro campo de acción, es decir, vamos a ver qué números podemos expresar en forma de fracción. Éstos son los números racionales, conjunto que se denota . Es decir, los números decimales que podemos expresar como fracción son los números decimales exactos, como  o , y los números decimales en cuya expresión decimal se repite a partir de un cierto momento una misma cantidad de cifras, denominada período, como  o . Los números decimales que no podemos expresar como fracción son los números irracionales, que suele denotarse como  o . Algunos ejemplos de estos números han aparecido ya en este blog en varias ocasiones: el número , el número  o el número . La expresión decimal de estos números (como la de todos los irracionales) es infinita y no periódica. Por ello no pueden expresarse como una fracción.

Como último comentario antes de comenzar decir que la fracción que vamos a obtener de cada número decimal no va a ser en general una fracción irreducible, es decir, cuando ya tengamos la fracción asociada al número decimal podremos encontrar una fracción equivalente a la obtenida que será irreducible dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos. Veremos ejemplos en el desarrollo.

Desarrollo

Para conseguir nuestro objetivo vamos a distinguir tres casos:

1.- Número decimal exacto

Este es el caso más sencillo de todos. La fracción buscada es:

-Numerador: Número completo sin coma
-Denominador: Un uno seguidos de tantos ceros como cifras decimales tenía el número inicial

Si la fracción obtenida no es irreducible podemos simplificarla como comentamos antes dividiendo por el máximo común divisor de numerador y denominador. Expliquemos por qué con un ejemplo:

Sea . Multiplicamos  por  y queda:

Despejando  obtenemos lo buscado

Al ser una fracción irreducible nos quedamos con ella.

Por el mismo procedimiento, para este otro número llegamos a la siguiente fracción:

Como en este caso la fracción obtenida no es irreducible la simplificamos dividiendo entre numerador y denominador.

2.- Número decimal periódico puro

En este caso la fracción buscada es la siguiente:

-Numerador: Parte entera del número inicial junto con el período-parte entera del número inicial
-Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el período

Si la fracción obtenida no es irreducible también podemos simplificarla. Explicamos el tema con un ejemplo:

Sea . Multiplicamos  por  (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) y después restamos  al resultado. Queda:

Tenemos entonces . Despejamos  y llegamos al resultado esperado:

Como lo que obtenemos es una fracción irreducible nos la quedamos.

De la misma forma, para este otro número llegamos a lo siguiente:

Como en este caso obtenemos una fracción no irreducible la simplificamos dividiendo por numerador y denominador.

3.- Número decimal periódico mixto

En este caso la fracción quedaría de la siguiente manera:

-Numerador: Parte entera junto con parte no periódica junto con período-parte entera junto con parte no periódica
-Denominador: Tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como decimales no periódicos teníamos

Vamos a explicar este caso también mediante un ejemplo:

Sea . Multiplicamos  por  (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y restamos :

Tenemos entonces que . Volvemos a multiplicar por  (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal que ha quedado):

Despejando  obtenemos los buscado:

Como la fracción obtenida es irreducible nos la quedamos.

Veamos otro ejemplo:

Sea . Multiplicamos  por  (un uno seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) obteniendo . Multiplicamos ahora por (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte periódica que nos queda) llegando a . Ahora tomamos el número por el que multiplicamos a  en el primer paso, que en este caso es , lo multiplicamos por  y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

Nos queda entonces:

De donde obtenemos el resultado despejando :

Como la fracción obtenida no era irreducible la simplificamos dividiendo por  numerador y denominador.

Y uno más:

Sea . Multiplicamos  por  (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y nos queda . Ahora multiplicamos por  (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período que nos ha quedado) y obtenemos . Tomamos ahora el número por el que multiplicamos en el primer paso,  en este caso, lo multiplicamos por  y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

Obtenemos

Despejando :

Como la fracción obtenida es irreducible nos quedamos con ella.

Conclusión

Como has podido ver la cosa no es ni mucho menos difícil, pero nunca viene mal saber cómo hacer estos cambios de decimal a fracción ya que, por norma general, es mucho más engorroso operar con varios números decimales de distintos tipos, con distinto períodos, etc, que hacerlo con fracciones. Con estos procedimientos conseguimos precisamente expresar cualquier número decimal (racional) en forma de fracción, es decir, pasar cualquier tipo de numero decimal (racional) a un único tipo de número, una fracción, para así simplificar el manejo y las operaciones entre los mismos.